Симметрия Фока в теории атома водорода

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Квантовая задача Кулона (аналог классической задачи Кеплера), позволяющая рассчитывать спектр системы из двух противоположных зарядов, является до сих пор фундаментальной в квантовой теории[1][2][3][4]. С ней связаны имена основателей физики 20-го века — Н. Бора, А. Зоммерфельда ,В. Паули, Э. Шредингера, В. Фока . С неё начинается введение в теорию атомных спектров и она прекрасно изучена методами теории специальных функций. Благодаря своей простоте и заложенной в ней симметрии — группе вращений 4-х мерного пространства SO(4), она является исключительно полезным и тонким инструментом теоретической физики для построения различных концепций[5][6][7][8]. Реализацию симметрии SO(4) нашел В. Фок в импульсном пространстве. Результат Фока удивляет физиков: почему симметрия SO(4) проявляется в импульсном пространстве, свернутом в 3-d сферу c выходом в 4-d пространство.

Сущность открытия

Напомним предысторию достижения Фока. Два классических векторных интеграла — угловой момент и вектор Рунге-Ленца в квантовой механике соответствуют векторным операторам, которые коммутируют с оператором энергии, то есть с гамильтонианом. Анализ их коммутаторов, проведенный в[9], показывает, что они порождают алгебру Ли (линейное пространство с операцией коммутирования) совпадающую с алгеброй Ли малых (инфинитезимальных) операторов поворотов 4-х мерного пространства[1][4].

Для физиков это соответствие означает, что существует преобразование переменных и операторов, которое переводит исходную квантовую задачу Кулона в некоторое движение частицы на трехмерной 3-d сфере, вложенной в четырёхмерное 4-d пространство. Оператор энергии при этом будет инвариантен при вращениях 3-d сферы. Это напоминает замечательный эффект Л. Кэрола "с парящей улыбкой Чеширского кота ".

Подход Фока поразил современников[4][10][11][12].Исходным пунктом в его теории является интегральное уравнение Шредингера (УШ) в импульсном пространстве. Это пространство можно рассматривать как 3-d плоскость в 4-d пространстве. Затем Фок сворачивает её в сферу с помощью стереографической проекции, известной с античных времен как удобное преобразование глобуса на плоскую карту . (У Фока глобус трехмерный — также как и карта). При этом, Фок угадывает необходимый множитель для пси-функций, чтобы исходное интегральное уравнение перешло в уравнение для сферических функций на 3-d сфере (не путать со сферическими функциями на двумерной сфере). Это уравнение, редко используемое в физике, но известное в теории специальных функций, инвариантно относительно вращений в 4-d пространстве[13].

Фок не объясняет физический смысл найденного им преобразования[12]. В результате остается принципиальный вопрос — почему симметрия SO(4) реализуется в свернутом импульсном, а не в координатном пространстве, и как электрон «узнал о стереографической проекции» . Позднее, Ефимов С. П. развил теорию В. Фока, с помощью переноса его результата в координатное пространство.[14]. При этом переход от четырёхмерных сферических функций к функциям в физическом пространстве алгебраический (без интегралов) и сопровождается заменой четвёртой «лишней» координаты на мнимый радиус вектор [math]\displaystyle{ \imath r }[/math].


Теория Фока

При использовании атомных единиц, когда единица энергии есть [math]\displaystyle{ \frac{Z^2me^4 } {\hbar^2 } }[/math], а единица длины равна радиусу Бора [math]\displaystyle{ a_B= \frac{\hbar^2 }{Zme^2 } }[/math], УШ для собственных функций принимает вид:

[math]\displaystyle{ \left( -\frac{1 }{2 } \Delta-\frac{ 1 }{ r } \right)\Psi_{nlm }=-\frac{1 }{2n^2 }\Psi_{ nlm } }[/math].

Дапее удобно привести каждую орбиту с радиусом [math]\displaystyle{ na_B }[/math] к единому радиусу[1], то есть заменить радиус вектор [math]\displaystyle{ \mathbf{ r } }[/math] на вектор [math]\displaystyle{ \frac{ \mathbf{r}}{n} }[/math]. В результате УШ принимает обманчиво простую форму

[math]\displaystyle{ (-\Delta +1)\Psi_{ nlm}(\mathbf{ r}) =\frac{2n}{ r } \Psi_{nlm}(\mathbf{ r}), }[/math]

где используется снова обозначения [math]\displaystyle{ \mathbf{r} }[/math] and [math]\displaystyle{ r }[/math] для вектора и его модуля. В этом случае в импульсном представлении аргумент пси-функций растягивается: [math]\displaystyle{ \mathbf{p'}=n\mathbf{p} }[/math].

При переходе в импульсное пространство, к собственным функциям УШ необходимо применить преобразование Фурье [math]\displaystyle{ (\hbar=1) }[/math] :

[math]\displaystyle{ \Psi_{nlm}(\mathbf{r})=\frac{1}{ (2\pi)^3 }\int \ a_{nlm}(\mathbf {p} ) e^{(i\mathbf{pr})} d^3\mathbf{ p} }[/math].

Применение его к УШ приводит к свертке по импульсам. Потенциал [math]\displaystyle{ \frac{1}{ r} }[/math] переходит в функцию [math]\displaystyle{ \frac{4\pi }{ \left|\mathbf{ p^2 } \right| } }[/math], что дает интегральное (не локальное) уравнение:

[math]\displaystyle{ (\left|\mathbf{ p^2 } \right\| +1)a_{nlm } (\mathbf{p}) -\frac{ 2n }{2 \pi^2} \int \frac{a_{ nlm } (\mathbf{ p'} )}{\left|\mathbf{p-p' } \right|^2 } d^3 \mathbf{p' }. }[/math]

Отметим, что нелокальность уравнения приводит к тому, что Вектор Лапласа-Рунге-Ленца не фигурирует в импульсном пространстве.

Первый шаг теории Фока следующий: без всякого объяснения функция [math]\displaystyle{ a_{nlm}( \mathbf{ p } ) }[/math] умножается на множитель [math]\displaystyle{ ( 1+\mathbf{p^2 } )^2 }[/math].

Второй шаг : 3-d плоскость в импульсном пространстве сворачивается в 3-d сферу с координатами [math]\displaystyle{ ( \boldsymbol{\xi},\mathit{\xi_0 } ) }[/math] (см. рис.1)

Файл:Представление автора о задаче.png
Рис.1 Стереографическая проекция [math]\displaystyle{ 3d }[/math] [math]\displaystyle{ \mathbf{p} }[/math]-плоскости на [math]\displaystyle{ 3d }[/math] -сферу в 4d-пространстве

Из рисунка видно, что тангенс угла наклона проектирующей (красной) прямой равен:

[math]\displaystyle{ \tan \varphi =\frac{1 } {\left| \mathbf{p} \right|} . }[/math]

Отсюда следуют формулы:

[math]\displaystyle{ \left|\boldsymbol \xi \right| =\sin 2\varphi=\frac{2\left|\mathbf {p} \right| } {(1+\mathbf{p^2})}, }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol \xi =\frac{2\mathbf {p} } {(1+\mathbf{p^2})}, }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathit{ \xi_0} =\cos 2\varphi =\frac{(\mathbf {p^2}-1) } {(\mathbf{p^2}+1)}, }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol\xi^2+\xi_0^2=1. }[/math]

Стереографическая проекция удваивает угол наклона и в этом её эффект. Плоский рисунок при этом правильно отражает 4-х мерное преобразование.

В новых переменных, с учётом множителя Фока, собственная функция равна:

[math]\displaystyle{ b_{nlm }(\boldsymbol{ \xi}, \xi_0 ) =( \mathbf {p^2}+1)^2 a_{ nlm }(\mathbf { p } ). }[/math]

Существенно, что проекция является конформным преобразованием . Углы между пересекающимися кривыми сохраняются. Метрика на сфере в координатах пространства импульсов (плоскости p) равна:

[math]\displaystyle{ \frac{4 }{\mathbf{ (p^2+1)^2 }}(d\mathbf p )^2. }[/math]

Отсюда коэффициент сжатия элементов пространства p равен [math]\displaystyle{ \frac{ (\mathbf{ p^2}+1 ) }{ 2 } }[/math] . Элемент объёма в формуле (10) заменяем через элемент трехмерной поверхности :

[math]\displaystyle{ d^3\mathbf{p}=\frac{1 }{8} (\mathbf{p^2}+1)^3 dS_\xi }[/math]

Ядро интеграла удачно (и не очевидно) преобразуется следующим образом:

[math]\displaystyle{ \frac{ 1 }{ \mathbf{(p-p')^2 } }= \frac{ 2 }{ \mathbf{(p^2+1) } } \frac{1 }{[\boldsymbol{(\xi-\xi')^2}+(\xi_0-\xi'_0 )^2 ]} \frac{ 2 }{ \mathbf{(p'^2+1) } } , }[/math]

что не вытекает из конформности. Теперь подставляем последние три соотношения в интегральное уравнение . Получаем:

[math]\displaystyle{ b_{nlm}(\boldsymbol{\xi},\xi_0) -\frac{ n }{ 2\pi^2\ }\int \frac{b_{nlm}(\boldsymbol{\xi'},\xi'_0) }{[\boldsymbol{(\xi-\xi')^2}+(\xi_0-\xi'_0 )^2 ] } dS_{\xi'}, }[/math]

где, как видно из Рис.1, элемент поверхности на единичной сфере с объёмом [math]\displaystyle{ 2\pi^2 }[/math] равен:

[math]\displaystyle{ dS_\xi=\frac{d{\xi_1} d\xi_2 d{\xi_3} }{\xi_0 }=\frac{ dV_\xi }{ \xi_0 } }[/math]

(Интегрирование по плоскому 3-d пространству удобно при расчетах.)

В. Фок далее отсылает к теории сферических функций в четырёхмерном пространстве[13], где полиномы Гегенбауэра играют важную роль. Однако, в найденное уравнение можно подставить любую сферическую функцию и их сумму с фиксированным значением индекса (n-1), которое соответствует значению n в исходном УШ. В силу этого, уравнение не определяет квантовые числа [math]\displaystyle{ l }[/math] и [math]\displaystyle{ m }[/math]. Здесь важно свойство конформности. Повороту на сфере соответствует поворот на тот же угол в импульсном и координатном пространствах, так что функция с множителем [math]\displaystyle{ Y _{l,m} }[/math] переходит в собственную функцию с тем же угловым множителем (но с изменённым аргументом).

Таким образом, необходимое решение интегрального уравнения на 3-d сфере равно

[math]\displaystyle{ b_{nlm}(\boldsymbol{\xi},\xi_0)= Y _{l,m}(\theta,\varphi) G^{l+1}_{(n-1-l)}(\xi_0) }[/math],

где второй множитель есть полином Гегенбауэра.

Неадекватная интерпретация

Математические симметрии играют важную роль в теоретической физике, помогая лучше понять физическую природу явления. Например, материальная точка в осцилляторе движется «туда-сюда» на отрезке. Физики изобрели фазовую плоскость для координат [math]\displaystyle{ x,p }[/math], где точка движется равномерно по окружности, а её проекция на ось [math]\displaystyle{ x }[/math] есть движение в физическом пространстве. Подобная ситуация возникает в исследовании В. Фока. Математический аналог условно свободного движения возникает в импульсном 4-d пространстве.

В литературе встречается интерпретация результата Фока[12], в которой электрон в атоме водорода движется якобы свободно в 4-d пространстве на 3-d сфере. При этом наблюдатель из физического 3-d пространства видит проекцию этого движения. Этого утверждения в работе Фока нет, и такая интерпретация физически не адекватна.

См. также

Примечания

  1. ↑ 1,0 1,1 1,2 L.D. Landau, E.M.Lifshitz. Quantum Mechanics: Nonrelativistic Theory. — Oxford: Pergamon, 1958. — 750 с.
  2. ↑ H.A.Bethe, E.E.Salpeter. Quantum mechanics of one and two-electron atoms. — Berlin: Springer, 1957.
  3. ↑ J.L. Basdevant, J. Dalibard. The Quantum Mechanics Solver. — Berlin,New-York, Heidelberg, 2000.
  4. ↑ 4,0 4,1 4,2 A.I.Baz, I.A. Zel'dovich, A.M.Perelomov. Scattering,reactions and decays in nonrelativistic quantum mechanics. — Israel: Program for scientific translations, 1969.
  5. ↑ S.P.Alliluev. To the question of link of accidental degeneracy with hidden symmetry of physical system // Zh. Eksp. Teor. Fiz : journal. — 1957. — Т. 33.
  6. ↑ A.M. Perelomov,V.S. Popov,M.V. Terent’ev. Ionization of atoms in alternating electric field // Zh. Eksp. Teor. Fiz : journal. — 1966. — Т. 50.
  7. ↑ M.Bander, C.Itzykson. Group theory and the hydrogen atom : journal. — Rev. Mod. Phys, 1966. — Т. 38, вып. 2. — doi:10.1103/RevModPhys.38.330.
  8. ↑ H. Kleinert. Group Dynamics of the Hydrogen Atom. Lectures in Theoretical Physics. — N. Y.: Edited by W.E. Brittin and A,O. Barut, Gordon and Breach, 1968. — С. 427—482.
  9. ↑ L.Hulthén. Über die quantenmechanische Herleitung der Balmerterme : journal. — Zs. f. Phys, 1933. — Т. 86, вып. 1—2. — doi:10.1007/BF013401795.
  10. ↑ V.A.Vock. Wasserstoffatom und Nicht-euklidische Geometrie : journal. — Bulletin de l'Académie des Sciences de l'URSS. Classe des sciences mathématiques et naS., 1935. — Т. 2.
  11. ↑ V.A. Fock. Zȕr Theorie des Wasserstoffatoms : journal. — Zs. f. Phys, 1935. — Т. 98. — doi:10.1007/BF01336904.
  12. ↑ 12,0 12,1 12,2 V.A.Fock. V. A. Fock- Selected Works: Quantum Mechanics and Quantum Field Theory. — CRC Press, 2004. — doi:10.1201/9780203643204.
  13. ↑ 13,0 13,1 A.U. Klimuk, N.Y. Vilenkin. Representation of Lie Groups and Special Functions. — Heidelberg: Springer, 1995.
  14. ↑ S.P. Efimov. Fock theory modification into coordinate space.Harmonic tensors in quantum Coulomb problem : journal. — Physics-Uspekhi, 2021. — Т. 191. — doi:10.3367/UFNr.2021.04.038966.

Литература

Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Симметрия_Фока_в_теории_атома_водорода&oldid=7069714